Šesť stupňov k ľubovoľnému človeku: čo dokáže matematika odhaliť o našich sieťach?

Ako teória grafov modeluje vzťahy medzi ľuďmi, prečo sa ich význam nedá zmerať jediným číslom a čo o štruktúre sietí skúmajú slovenskí matematici.

Predstavte si, že by ste celú svoju rodinu, priateľov, spolužiakov aj ich kontakty prepojili čiarami na jednom veľkom hárku papiera. Vznikla by hustá pavučina vzťahov, ktorá by pre bežného pozorovateľa pôsobila ako chaos. Pre matematikov je to však objekt s presne definovanými vlastnosťami — dá sa merať, počítať a porovnávať.

Disciplína, ktorá sa tým zaoberá, sa volá teória grafov. Na Slovensku sa jej v kontexte sociálnych a komplexných sietí venuje napríklad Ústav matematiky Prírodovedeckej fakulty UPJŠ v Košiciach, konkrétne tím KOSDIM (Košická skupina diskrétnej matematiky). Jeden z jeho členov, prof. RNDr. Tomáš Madaras, PhD., skúma matematické vlastnosti mier centrality a ďalšie otázky súvisiace so sociálnymi a komplexnými sieťami — vrátane toho, ako v sieti identifikovať skupiny uzlov, ktoré sú medzi sebou výraznejšie prepojené (komunity).

Uzly, hrany a otázka, čo znamená byť „dôležitý“

V teórii grafov sa ľudia, mestá alebo počítače reprezentujú ako uzly (vrcholy). Vzťahy medzi nimi — priateľstvo, komunikácia, spolupráca — sú hrany.

Matematik sa pri pohľade na takúto sieť môže pýtať: koľko má daný uzol spojení? Ako ďaleko je od ostatných? Spája skupiny, ktoré by inak zostali oddelené?

Posledná otázka je kľúčová, pretože ukazuje, že „dôležitosť“ nie je jedno číslo, ale niekoľko rôznych mier, ktoré môžu dávať protichodné odpovede:

• Počet priamych kontaktov — koľko spojení má uzol sám osebe.
• Sprostredkovateľská pozícia — či uzol leží na najkratších cestách medzi inak oddelenými skupinami.

Tieto dva pohľady sa môžu rozchádzať. Človek s desiatkami priateľov v jednej uzavretej komunite nemusí byť pre šírenie informácie taký dôležitý ako niekto s pár kontaktmi, ktorý ako jediný spája dve inak nepreniknuteľné skupiny.

Ilustrácia: most medzi dvoma triedami

Predstavme si dve školské triedy, A a B, z ktorých každá je vnútorne hustá sieť priateľstiev. Jediným medzičlánkom medzi nimi je žiak, pričom v modeli neexistuje nijaké iné spojenie medzi triedami. Práve za tejto podmienky ide o to, čo sa v teórii grafov v tomto zjednodušenom príklade označuje ako artikulačný vrchol — jeho odstránenie by graf rozdelilo na dve samostatné, navzájom neprepojené časti. (Skutočné sociálne siete bývajú prepojené hustejšie a takéto jednoznačné artikulačné vrcholy sú v nich zriedkavejšie — príklad slúži na ilustráciu princípu, nie ako opis typickej siete.)

Z hľadiska počtu kontaktov nemusí byť tento žiak najobľúbenejší v škole. Z hľadiska štruktúry siete je však v tomto zjednodušenom príklade jediným spojovacím uzlom, obrazne povedané „mostom“: bez neho by sa žiadna informácia medzi triedami nedostala. Presne takéto „úzke hrdlá“ a mosty medzi komunitami je úlohou teórie grafov odhaľovať.

Šesť stupňov odlúčenia — mýtus, alebo pravidlo?

Fenomén „šiestich krokov“ pochádza z experimentu, ktorý v roku 1967 uskutočnil americký sociálny psychológ Stanley Milgram. Účastníci mali posielať listy cez reťazce svojich známych smerom k vopred určenému cieľovému príjemcovi — maklérovi žijúcemu v mestečku Sharon v štáte Massachusetts.

Tu je dôležité byť presný, pretože sa okolo tohto experimentu ustálilo niekoľko skreslení:

• Úspešnosť doručenia sa medzi jednotlivými fázami experimentu výrazne líšila. V nepublikovanej pilotnej štúdii z mesta Wichita v štáte Kansas, ktorú z Milgramovej pozostalosti v archíve Yale University zdokumentovala neskôr J. Kleinfeld (2002), do cieľa dorazili len tri z 50 spustených reťazcov (5 % z 60 pôvodne náborovaných účastníkov); dokončené reťazce prešli priemerne cez osem ľudí, teda predstavovali približne deväť stupňov odlúčenia. V hlavnej, publikovanej a najcitovanejšej verzii experimentu, ktorú v roku 1969 publikovali J. Travers a S. Milgram (odosielatelia z Nebrasky a Bostonu → cieľová osoba v Sharone, Massachusetts), bolo do štúdie zapojených 296 účastníkov, no dokument reálne poslalo ďalej 217 z nich; do cieľa sa napokon dostalo 64 reťazcov. Miera dokončenia teda závisí od toho, aký menovateľ použijeme — voči všetkým 296 účastníkom ide o približne 22 %, voči 217 tým, ktorí dokument skutočne poslali ďalej, o približne 29 %.
• Priemerný počet medzičlánkov sa týka výhradne dokončených reťazcov a vychádzal na 5,2 (mediánová hodnota citovaná v niektorých neskorších analýzach je 6) — odtiaľ pojem „šesť stupňov odlúčenia“, ktorý neskôr popularizovala divadelná hra aj film s rovnomenným názvom.
• Experiment teda nedokazuje univerzálny zákon, že každých dvoch ľudí na svete delí presne šesť krokov. Ukazuje len to, že pokiaľ sa reťaz podarí dokončiť, býva prekvapivo krátka — čo je metodologicky iné tvrdenie.

DEEP DIVE: Ako je možné, že veľká sieť má krátke vzdialenosti?

Odpoveď dala neskôr matematika a informatika prostredníctvom tzv. modelov malého sveta. Niektoré z týchto modelov ukazujú, že aj sieť zložená prevažne z hustých, lokálne prepojených zhlukov (ako spomínané školské triedy) môže mať prekvapivo krátke priemerné vzdialenosti medzi ľubovoľnými dvoma uzlami — stačí, ak v nej existuje malý počet náhodných diaľkových „skratiek“. Nejde však o univerzálny mechanizmus, ktorý by rovnako platil pre každú reálnu sieť — rôzne typy sietí (sociálne, biologické, technologické) môžu mať odlišnú štruktúru a odlišné modely, ktoré ju najlepšie opisujú.

Toto zistenie je navyše potrebné vykladať opatrne. Krátka vzdialenosť medzi uzlami znamená len to, že potenciálna cesta medzi ľubovoľnými dvoma bodmi siete je krátka — teda že správa má matematicky k dispozícii rýchlu trasu. Krátka štrukturálna vzdialenosť môže šírenie uľahčiť, sama však nezaručuje, že sa informácia skutočne rozšíri. Graf popisuje štruktúru a možnosti prenosu; to, či a ako rýchlo sa niečo naozaj „rozšíri“, závisí od ďalších faktorov — ako veľmi je obsah zaujímavý, ako často ľudia informácie posúvajú ďalej, alebo aké je zloženie a hustota konkrétnej siete.

Čo z toho skúmajú na UPJŠ

Výskum tímu KOSDIM sa okrem klasickej štruktúry grafov (farebnosť, rovinné grafy, dlhé kružnice) venuje aj práve aplikáciám na sociálne a komplexné siete — matematickým vlastnostiam indexov centrality a metódam detekcie komunít. Ide o presne tú istú otázku, akú ilustruje príklad s dvoma triedami: ktoré uzly fungujú ako mosty, ktoré komunity sú navzájom prepojené a aké dlhé cesty vedú medzi jednotlivými bodmi siete.

Dôležité je pritom rozlišovať medzi matematickým modelom a skutočným ľudským správaním. Graf dokáže presne opísať štruktúru a možné cesty šírenia — ale sám osebe nepovie, či konkrétny človek správu otvorí, uverí jej alebo pošle ďalej. Odpoveď na to prináša až prepojenie s psychológiou a analýzou reálneho správania.

Prečo je to aktuálne dnes

Teória grafov nie je len historická kuriozita spojená s listami z 60. rokov. Metódy analýzy sietí — indexy centrality, detekcia komunít, modely malého sveta — sa dnes využívajú v rôznych oblastiach, napríklad pri výskume odporúčacích systémov, šírenia informácií či epidemiologických kontaktných sietí. Práve preto je táto téma aktívnym predmetom výskumu aj na Slovensku: tím KOSDIM sa venuje matematickým vlastnostiam mier centrality a ďalším otázkam štruktúry sociálnych a komplexných sietí.

Praktický záver

Pri skúmaní siete sa preto netreba pýtať iba na počet kontaktov, ale aj na to, ktoré spojenia prepájajú odlišné skupiny. Počet kontaktov nie je jediný spôsob, ako opísať postavenie človeka v sieti — v niektorých situáciách môže byť podstatné aj to, či jeho väzby prepájajú skupiny, ktoré by inak zostali oddelené.

---

Zdroje:

• prof. T. Madaras a kol. — výskum tímu KOSDIM, Ústav matematiky UPJŠ Košice (oficiálny profil pracoviska; inauguračné konanie na profesora, Vedecká rada PF UPJŠ, 2018);
• J. Travers, S. Milgram, „An Experimental Study of the Small World Problem“, Sociometry 32(4) (1969), s. 425–443 — 296 účastníkov, 217 reálne odoslaných dokumentov (74 %), 64 dokončených reťazcov (22 % z 296, resp. 29 % z 217), priemer 5,2 medzičlánkov, cieľová osoba v Sharone, Massachusetts;
• S. Milgram, „The Small World Problem“, Psychology Today 1(1) (1967), s. 61–67; J. S. Kleinfeld, „Could It Be a Big World After All? The ‚Six Degrees of Separation‘ Myth“, Society 39(2) (2002), s. 61–66 — zdroj údajov o nepublikovanej pilotnej štúdii vo Wichite (Kansas: 60 náborovaných, 50 spustených reťazcov, 3 doručené = 5 %, priemer 8 medzičlánkov = ~9 stupňov odlúčenia) z archívu S. Milgrama, Manuscripts and Archives, Yale University.